Решение задач по геометрии 7 класс, объяснение тем, объяснение задач

В 7 классе ученики начинают изучать новый предмет — геометрию. До этого они уже знакомились с некоторыми геометрическими понятиями, но не так подробно. Чтобы в дальнейшем не возникали трудности с усвоением информации, следует с самого начала усвоить основные моменты: уметь различать типы фигур, знать основные их свойства, выучить теоремы, признаки фигур. В 7 классе изучаются простейшие объекты: точка, луч, отрезок, прямая и т.д. Кроме этого, в учебниках подробно рассматривается треугольник.

Чтобы помочь ученику с усвоением основных тем по геометрии, ниже рассмотрено их содержание, представлены рисунки фигур и задачи по темам треугольников.

Основные темы по геометрии 7 класс

Ученику 7 класса предстоит познакомиться со следующими основными разделами учебника по геометрии:

• Начальные сведения (об основных геометрических объектах).
• О треугольниках: что это, какие бывают, как понять, равны ли два треугольника.
• Отдельно о равнобедренном и прямоугольном треугольнике.
• Задачи по пройденному материалу.

Геометрия 7 класс объяснение основных тем, понятно для детей

первые геометрические объекты

Начать стоит с самого понятия «геометрия». С древнегреческого слово переводится как земля и измерение. Эта древнейшая наука, которая появилась в связи с необходимостью строить здания, дороги, измерять объекты и прокладывать границы.

Первыми геометрическими фигурами, которые стоит усвоить, являются точка, прямая, отрезок.

Через две точки можно провести прямую линию (причем единственную); она не искривляется, не имеет конца и начала, продолжается до бесконечности.

Запомните важную аксиому:

Если часть прямой линии ограничить точками, получится отрезок. У отрезка есть и начало, и конец. Обозначается он большими буквами (например, отрезок КL, SD, AB и т.д.).

 

О равных треугольниках. Равнобедренный треугольник

Треугольником принято считать фигуру, которая состоит из 3-х точек. Причем точки эти не должны лежать на одной прямой, а соединяются они отрезками.

Сумма всех углов в треугольнике равняется 180º. Знание этого факта пригодится при решении задач на нахождение углов.

Треугольники можно различать по двум признакам: размеру сторон и размеру углов.

Если один треугольник (назовем его CFD) наложить на другой (C1F1D1) и они будут соответствовать друг другу, то треугольники равны. У равных фигур все элементы равны.

Чтобы понять, равны ли треугольники, познакомимся с признаками равенства этих фигур.

Остановимся отдельно на равнобедренных треугольниках. Если 2 стороны  треугольники равны, то его называют равнобедренным. 

На заметку! Если равны все стороны, а не только две, то треугольник уже равносторонний, а не равнобедренный.

Исходя из этого, можно выделить признаки равнобедренного треугольника. Треугольник равнобедренный, если:

• 2 угла в нем равны;
• биссектриса одновременно является высотой и медианой;
• медиана — биссектриса и высота;
• высота, соответственно — медиана и биссектриса.

Если взять треугольник неравнобедренный, то эти три составляющие (высота, биссектриса и медиана) не будут совпадать (это четко прослеживается на рисунке ниже).

параллельные прямые

Если на тетрадном листе кажется, что прямые параллельны, но имеется небольшой уклон, то вполне вероятно, что за пределами листа (ведь они бесконечны), прямые пересекутся.

Чтобы понять, параллельны ли прямые, нужно усвоить 3 основных признака.

Показать параллельность прямых а и б можно так: а ΙΙ б.

прямоугольный треугольник и его свойства

Прямоугольным называют треугольник, в котором один из углов равен 90º. Рассмотрим название сторон такой фигуры.

Геометрия 7 класс задача по теме треугольники, пояснение решения задач

Решим несколько задач про треугольники:

• нахождение периметра;
• доказательство равенства треугольников.

Чтобы найти периметр в представленной задаче, нашли сперва неизвестные стороны. Потом просто сложили полученные значения.

Для этой задачи понадобилось знание признаков равенства треугольников.

Для решения задачи понадобится знание признаков равнобедренного треугольника. Так, можно утверждать, что в треугольнике сторона АС и АВ равны, как и СМ и МВ. Поскольку периметр — это сумма всех сторон, получается, что сумму периметра АВМ можно записать сложением АВ, ВМ и АМ (ее как раз нужно найти).

Сумму периметра АВС также записали с помощью сложения сторон. Затем упростили это сложение, записав: 32 = 2 АВ + 2 ВМ (так как АВ и АС равны — равнобедренный треугольник; ВМ и СМ тоже равны). Потом эту запись сократили, разделив на 2.

Вышло, что сумма двух сторон равна 16 см. Остается найти третью сторону (АМ). Она входит в треугольник АВМ, периметр которого равен 24 см. Тогда, чтобы найти третью сторону (АМ, нужно просто 24 отнять 16, вышло 8 см. В примере подставили в уравнение, чтобы не запутаться.

Решим задачу на нахождение угла в треугольнике.

Чтобы найти угол С в задаче потребовалось узнать, чему равен угол В. По условиям известно, что внешний В равняется 110º. Знаем, что развернутый угол равняется 180º (это внешний и внутренний угол В в сумме). Поэтому от 180 отнимаем 110. Получается угол В = 70º.

Треугольник равнобедренный, значит углы при основании одинаковые ⇒ угол В = углу А = 70º.

Поскольку сумма углов треугольника равна 180º (по правилу), значит угол С = 180 — углы А и В = 180 — 70 — 70 = 40°.

Задачи на второй и третий признак равенства треугольников подробно представлено в видео-уроке.

Геометрия 7 класс тест по теме треугольник

Закрепим материал по треугольникам, решив несколько тестовых заданий.

1. Как называется сумма всех сторон в треугольнике?

а) площадь;
б) периметр;
в) медиана

     2. Треугольник называется равнобедренным, если:

а) у него есть основание;
б) все стороны равны;
в) две стороны равны

3. Если в равнобедренном треугольнике к основанию провести высоту, то чем еще она будет являться?

а) биссектрисой;
б) медианой;
в) медианой и биссектрисой;
г) только высотой

4. Сколько всего признаков равенства треугольников?

а) 4;
б) 3;
в) 2

5. В треугольнике можно провести ___ медиан (-ы)

а) одну;
б) множество;
в) три;
г) две

6. Как называются стороны прямоугольного треугольника, которые образуют угол 90º?

а) гипотенузы;
б) катеты;
в) высоты

7. Про что гласит 3-й признак равенства треугольников?

а) про стороны;
б) про сторону и углы;
в) про угол и стороны

8. Под каким углом в любом треугольнике проходит высота?

а) это зависит от вида треугольника
б) под углом 45 градусов;
в) 90 градусов

9. По каким признакам различаются виды треугольников?

а) по размеру сторон;
б) по размеру углов;
в) по размеру сторон и углов;
г) по периметру и площади

10. Чему равна сумма двух острых углов прямоугольного треугольника?

а) 90 градусов;
б) 180 градусов;
в) 60 градусов

Ответы: 1 — б; 2 — в; 3 — в; 4 — б; 5 — в; 6 — б; 7 — а; 8 — в; 9 — в; 10 — а.

7 класс геометрия сложная тема, разъяснить подробно для детей

Решим более сложную задачу, где есть и доказательство равенства треугольников, и поиск углов. Алгоритм решения задачи:

Шаг 1. Начертим, согласно условиям. Дается треугольник АВС, в котором провели медиану (вспоминаем, что медиана делит  сторону пополам). В нашей задаче медиана AD уходит за пределы треугольника, создавая дополнительный отрезок DE (он равен AD). Получился треугольник, из которого проведена медиана.

Шаг 2. Первая задача — доказать равенство треугольников ABD и ECD: соединим точку Е и С, чтобы получился треугольник.

Шаг 3. По условиям AD и DE равны (одна сторона треугольника равна другой стороне ⇒ AD = DE

Шаг 4.  Получается BD = DC, так как медиана разделила BC пополам (выходит, еще одни стороны треугольников равны).

Шаг 5. Рассмотрим углы между сторонами (на рис. обозначены цифрами 1 и 2). Они вертикальные, так как образовались двумя прямыми. Следовательно, они равны.

Из первого признака равенства треугольников знаем, что если 2 стороны и угол между этими сторонами одного треугольника равен этим показателям во втором, то они равные. Пункт а доказан. Переходим к б.

Шаг 1. Нам нужно найти угол АСЕ. Из рисунка видно, что он состоит из 2-х маленьких углов, получается: угол АСЕ равен сумме углов DCA и DCE.

Шаг 2. По условиям мы знаем, чему равен DCA, осталось найти второй. Так как равенство треугольников доказали, значит воспользуемся правилом: напротив равных сторон треугольников лежат и равные углы. AD напротив ABD; DE напротив DCE. Выходит: угол ABD = углу DCE = 40 градусам (по условию).

Шаг 3. Маленькие углы известны, найдем тот, который требуется: угол ACE = 56º + 40º = 96º.

Равенство доказали, угол нашли. Задание выполнено.

Еще пара видеороликов про решение задачи с прямоугольным треугольником, а также вся геометрия за 7 класс в одной задаче.